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2013年湖南省高考数学试卷（文科）
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发布:
高中数学空间
更新:
2017-06-21
一、选择题：本大题共9小题，每小题5分，共45分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 复数
（
为虚数单位）在复平面上对应的点位于（ ）. (
5分
)
A. 第一象限
B. 第二象限
C. 第三象限
D. 第四象限
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2. “
”是“
”成立的（ ）. (
5分
)
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件
D. 既不充分也不必要条件
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3. 某工厂甲、乙、丙三个车间生产了同一种产品，数量分别为120件，80件，60件．为了解它们的产品质量是否存在显著差异，用分层抽样方法抽取了一个容量为
的样本进行调查，其中从丙车间的产品中抽取了3件，则
（ ）. (
5分
)
A. 9
B. 10
C. 12
D. 13
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4. 已知
是奇函数，
是偶函数，且
则
等于（ ）. (
5分
)
A. 4
B. 3
C. 2
D. 1
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5. 在锐角
中，角
所对的边长分别为
．若
，则角
等于（ ） (
5分
)
A.
B.
C.
D.
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6. 函数
的图象与函数
的图象的交点个数为（ ）. (
5分
)
A. 0
B. 1
C. 2
D. 3
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7. 已知正方体的棱长为1，其俯视图是一个面积为1的正方形，侧视图是一个面积为
的矩形，则该正方体的正视图的面积等于（ ）. (
5分
)
A.
B.
C.
D.
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8. 已知
是单位向量，
，若向量
满足
，则
的取值范围为（ ）. (
5分
)
A.
B.
C.
D.
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9. 已知事件“在矩形
的边
上随机取一点
，使
的最大边是
”发生的概率为
，则
（ ）. (
5分
)
A.
B.
C.
D.
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二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．
1. 已知集合
，则
______. (
5分
)
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2. 在平面直角坐标系
中，若直线
（
为参数）和直线
（
为参数）平行，则常数
的值为
. (
5分
)
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3. 执行如图所示的程序框图，如果输入
，则输出的
的值为
.
(
5分
)
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4. 若变量
满足约束条件
，则
的最大值为
. (
5分
)
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5.
设
是双曲线
的两个焦点．若在
上存在一点
，使
，且
，则
的离心率为
.
(
5分
)
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6. 对于
的子集
，定义
的“特征数列”为
，其中
，其余项均为0，例如子集
的“特征数列”为0，1，0，0，…，0
（1）子集
的“特征数列”的前3项和等于
；
（2）若
的子集
的“特征数列”
满足
，
的子集
的“特征数列”
满足
，则
的元素个数为
. (
5分
)
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三、解答题；本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
1. 已知函数
.
（Ⅰ）求
的值；
（Ⅱ）求使
成立的
的取值集合． (
12分
)
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2. 如图．在直棱柱
中，
是
的中点，点
在棱
上运动．
（Ⅰ）证明：
；
（Ⅱ）当异面直线
所成的角为
时，求三棱锥
的体积．
(
12分
)
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3.
某人在如图所示的直角边长为4米的三角形地块的每个格点（指纵、横直线的交叉点以及三角形的顶点）处都种了一株相同品种的作物．根据历年的种植经验，一株该种作物的年收货量
（单位：kg）与它的“相近”作物株数
之间的关系如下表所示：
1
2
3
4
51
48
45
42
这里，两株作物“相近”是指它们之间的直线距离不超过1米．
（Ⅰ）完成下表，并求所种作物的平均年收获量；
51
48
45
42
频数
4
（Ⅱ）在所种作物中随机选取一株，求它的年收获量至少为48kg的概率． (
12分
)
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4. 设
为数列
的前
项和，已知
；
（Ⅰ）求
，并求数列
的通项公式；
（Ⅱ）求数列
的前
项和． (
12分
)
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5. 已知
分别是椭圆
的左、右焦点
关于直线
的对称点是圆
的一条直径的两个端点．
（Ⅰ）求圆
的方程；
（Ⅱ）设过点
的直线
被椭圆
和圆
所截得的弦长分别为
．当
最大时，求直线
的方程． (
13分
)
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6. 已知函数
.
（Ⅰ）求
的单调区间；
（Ⅱ）证明：当
时，
. (
14分
)
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