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2013年湖南省高考数学试卷(理科)
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发布:
高中数学空间
更新:
2017-06-21
一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1. 复数
(
为虚数单位)在复平面上对应的点位于( ). (
5分
)
A. 第一象限
B. 第二象限
C. 第三象限
D. 第四象限
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2. 某学校有男、女学生各500名,为了解男、女学生在学习兴趣与业余爱好方面是否存在显著差异,拟从全体学生中抽取100名学生进行调查,则宜采用的抽样方法是( ). (
5分
)
A. 抽签法
B. 随机数法
C. 系统抽样法
D. 分层抽样法
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3. 在锐角
中,角
所对的边长分别为
.若
,则角
等于( ) (
5分
)
A.
B.
C.
D.
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4. 若变量
满足约束条件
,则
的最大值是( ). (
5分
)
A.
B.
C.
D.
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5. 函数
的图象与函数
的图象的交点个数为( ). (
5分
)
A. 3
B. 2
C. 1
D. 0
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6. 已知
是单位向量,
,若向量
满足
,则
的取值范围为( ). (
5分
)
A.
B.
C.
D.
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7. 已知棱长为1的正方体的俯视图是一个面积为1的正方形,则该正方体的正视图的面积不可能是( ). (
5分
)
A. 1
B.
C.
D.
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8. 在等腰直角三角形
中,
,点
是边
边上异于
的一点,光线从点
出发,经
反射后又回到点
(如图),若光线
经过
的重心,则
等于( ).
(
5分
)
A. 2
B. 1
C.
D.
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二、填空题:本大题共8小题,考生作答7小题,第小题5分,共35分.(一)选做题(请考生在第9,10,11三题中任选两题作答、如果全做,则按前两题记分)(二)必做题(12~16题).
1. 在平面直角坐标系
中,若直线
,(
为参数)过椭圆
(
为参数)的右顶点,则常数
的值为
. (
5分
)
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2. 已知
,则
的最小值为
. (
5分
)
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3.
如图,在半径为
的
中,弦
相交于点
,则圆心
到弦
的距离为
. (
5分
)
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4. 若
,则常数
的值为
. (
5分
)
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5. 执行如图所示的程序框图,如果输入
,则输出的
的值为
.
(
5分
)
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6.
设
是双曲线
的两个焦点.
是
上一点,若
,且
的最小角为
,则
的离心率为
.
(
5分
)
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7. 设
为数列
的前
项和,
,则
(1)
;
(2)
. (
5分
)
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8. 设函数
,其中
.
(1)记集合
不能构成一个三角形的三条边长,且
,则
所对应的
的零点的取值集合为
.
(2)若
是
的三条边长,则下列结论正确的是
.(写出所有正确结论的序号)
①
;
②
,使
不能构成一个三角形的三条边长;
③若
为钝角三角形,则
,使
(
5分
)
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三、解答题:本大题共6小题,共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
1. 已知函数
.
(Ⅰ)若
是第一象限角,且
,求
的值;
(Ⅱ)求使
成立的
的取值集合. (
12分
)
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2.
某人在如图所示的直角边长为4米的三角形地块的每个格点(指纵、横直线的交叉点以及三角形顶点)处都种了一株相同品种的作物.根据历年的种植经验,一株该种作物的年收获Y(单位:kg)与它的“相近”作物株数X之间的关系如下表所示:
1
2
3
4
51
48
45
42
这里,两株作物“相近”是指它们之间的直线距离不超过1米.
(Ⅰ)从三角形地块的内部和边界上分别随机选取一株作物,求它们恰 好“相近”的概率;
(Ⅱ)在所种作物中随机选取一株,求它的年收获量的分布列与数学期望. (
12分
)
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3.
如图,在直棱柱
中,
,
,
,
,
.
(Ⅰ)证明:
;
(Ⅱ)求直线
与平面
所成的角的正弦值. (
12分
)
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4.
在平面直角坐标系
中,将从点
出发沿纵、横方向到达点
的任一路径称为
到
的一条“
路径”.如图所示的路径
与路径
都是
到
的“
路径”.某地有三个新建居民区,分别位于平面
内三点
处.现计划在
轴上方区域(包含
轴)内的某一点
处修建一个文化中心.
(I)写出点
到居民区
的“
路径”长度最小值的表达式(不要求证明);
(Ⅱ)若以原点
为圆心,半径为1的圆的内部是保护区,“
路径”不能进入保护区,请确定点
的位置,使其到三个居民区的“
路径”长度之和最小. (
12分
)
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5. 过抛物线
的焦点
作斜率率分别为
的两条不同直线
,且
与
交于点
与
交于
,以
为直径的圆
,圆
(
为圆心)的公共弦所在直线记为
.
(Ⅰ)若
,证明:
;
(Ⅱ)若点
到直线
的距离的最小值为
,求抛物线E的方程. (
13分
)
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6. 已知
,函数
.
(Ⅰ)记
在区间
上的最大值为
,求
的表达式;
(Ⅱ)是否存在
使函数
在区间
内的图象上存在两点,在该两点处的切线互相垂直?若存在,求出
的取值范围;若不存在,请说明理由. (
14分
)
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