1. 设向量,
(1)若,求的值;
(2)设函数,求的最大值. (12分)
2. 如图,是圆的直径,垂直圆所在的平面,是圆上的点.
(I)求证:平面平面;
(II)若,求证:二面角的余弦值. (12分)
3. 现有10道题,其中6道甲类题,4道乙类题,张同学从中任取3道题解答.
(I)求张同学至少取到1道乙类题的概率;
(II)已知所取的3道题中有2道甲类题,1道乙类题.设张同学答对甲类题的概率都是,答对每道乙类题的概率都是,且各题答对与否相互独立.用表示张同学答对题的个数,求的分布列和数学期望. (12分)
4. 如图,抛物线,,点在抛物线上,过作的切线,切点为(为原点时,重合于),当时,切线的斜率为.
(I)求的值;
(II)当在上运动时,求线段中点的轨迹方程(重合于时,中点为). (12分)
5. 已知函数,当.
(I)求证:;
(II)若恒成立,求实数的取值范围. (12分)
6. 如图,为的直径,直线与相切于垂直于垂直于垂直于于,连接,证明:
(1);
(2) (10分)
7. 在直角坐标系中以为极点,轴正半轴为极轴建立坐标系.圆,直线的极坐标方程分别为,
(I)求与交点的极坐标;
(II)设为的圆心,为与交点连线的中点,已知直线的参数方程为(为参数),求的值. (10分)
8. 已知函数,其中,
(1)当时,求不等式的解集;
(2)已知关于的不等式的解集,求的值. (10分)