1. 如图，在正三棱柱中，，异面直线与所成角的大小为，求该三棱柱的体积．
(7分)
2. 如图，某校有一块形如直角三角形的空地，其中为直角，长40米，长50米，现欲在此空地上建造一间健身房，其占地形状为矩形，且为矩形的一个顶点，求该健身房的最大占地面积． (7分)
4. 已知椭圆的两个焦点分别为，短轴的两个端点分别为；
（Ⅰ）若为等边三角形，求椭圆的方程；
（Ⅱ）若椭圆的短轴长为2，过点的直线l与椭圆相交于两点，且，求直线的方程． (13分)
5. 已知抛物线 的焦点为．
（Ⅰ）点满足．当点在抛物线上运动时，求动点的轨迹方程；
（Ⅱ）在轴上是否存在点，使得点关于直线的对称点在抛物线上？如果存在，求所有满足条件的点的坐标；如果不存在，请说明理由 (12分)
6. 在平面直角坐标系中，点在轴正半轴上，点在轴上，其横坐标为，且是首项为1、公比为2的等比数列，记.
（Ⅰ）若，求点的坐标；
（Ⅱ）若点的坐标为，求的最大值及相应的值． (13分)
7. 已知真命题：“函数的图象关于点成中心对称图形”的充要条件为“函数 是奇函数”．
（Ⅰ）将函数的图象向左平移1个单位，再向上平移2个单位，求此时图象对应的函数解析式，并利用题设中的真命题求函数图象对称中心的坐标；
（Ⅱ）求函数图象对称中心的坐标；
（Ⅲ）已知命题：“函数的图象关于某直线成轴对称图象”的充要条件为“存在实数和，使得函数 是偶函数”．判断该命题的真假．如果是真命题，请给予证明；如果是假命题，请说明理由，并类比题设的真命题对它进行修改，使之成为真命题（不必证明）． (18分)
