1. 如图，椭圆的中心为原点，长轴在轴上，离心率，过左焦点作轴的垂线交椭圆于两点，．
（Ⅰ）求该椭圆的标准方程；
（Ⅱ）取平行于轴的直线与椭圆相交于不同的两点，过作圆心为的圆，使椭圆上的其余点均在圆外．求的面积的最大值，并写出对应的圆的标准方程． (12分)
2. 设数列满足：.
（Ⅰ）求的通项公式及前项和；
（Ⅱ）已知是等差数列，为前项和，且，求. (12分)
3. 从某居民区随机抽取10个家庭，获得第个家庭的月收入（单位：千元）与月储蓄（单位：千元）的数据资料，算得；
（Ⅰ）求家庭的月储蓄对月收入的线性回归方程；
（Ⅱ）判断变量与之间是正相关还是负相关；
（Ⅲ）若该居民区某家庭月收入为7千元，预测该家庭的月储蓄．
附：线性回归方程中，，其中为样本平均值，线性回归方程也可写为 (12分)
4. 在中，内角的对边分别是，且．
（Ⅰ）求；
（Ⅱ）设，为的面积，求的最大值，并指出此时的值． (12分)
5. 如图，四棱锥中，底面，．
（Ⅰ）求证：平面；
（Ⅱ）若侧棱的点满足，求三棱锥的体积． (13分)
6. 某村庄拟修建一个无盖的圆柱形蓄水池（不计厚度）．设该蓄水池的底面半径为米，高为米，体积为立方米．假设建造成本仅与表面积有关，侧面积的建造成本为100元/平方米，底面的建造成本为160元/平方米，该蓄水池的总建造成本为元（为圆周率）．
（Ⅰ）将表示成的函数，并求该函数的定义域；
（Ⅱ）讨论函数的单调性，并确定和为何值时该蓄水池的体积最大． (14分)
