1. 设,其中,曲线在点处的切线与轴相交于点;
(Ⅰ)确定的值;
(Ⅱ)求函数的单调区间与极值. (12分)
2. 某商场举行的“三色球”购物摸奖活动规定:在一次摸奖中,摸奖者先从装有3个红球与4个白球的袋中任意摸出3个球,再从装有1个蓝球与2个白球的袋中任意摸出1个球,根据摸出4个球中红球与蓝球的个数,设一、二、三等奖如下:
奖级 |
摸出红、蓝球个数 |
获奖金额 |
一等奖 |
3红1蓝 |
200元 |
二等奖 |
3红0蓝 |
50元 |
三等奖 |
2红1蓝 |
10元 |
其余情况无奖且每次摸奖最多只能获得一个奖级.
(Ⅰ)求一次摸奖恰好摸到1个红球的概率;
(Ⅱ)求摸奖者在一次摸奖中获奖金额
的分布列与期望
(
12分)
3. 如图,四棱锥中,底面为的中点,;
(Ⅰ)求的长;
(Ⅱ)求二面角的正弦值.
(12分)
4. 在中,内角的对边分别是,且;
(Ⅰ)求;
(Ⅱ)设,求的值. (12分)
5. 如图,椭圆的中心为原点,长轴在轴上,离心率,过左焦点作轴的垂线交椭圆于两点,.
(Ⅰ)求该椭圆的标准方程;
(Ⅱ)取垂直于轴的直线与椭圆相交于不同的两点,过作圆心为的圆,使椭圆上的其余点均在圆外.若,求圆的标准方程.
(13分)
6. 对正整数,记.
(Ⅰ)求集合中元素的个数;
(Ⅱ)若的子集中任意两个元素之和不是整数的平方,则称为“稀疏集”.求的最大值,使能分成两人上不相交的稀疏集的并. (14分)