1. 已知函数;
(Ⅰ)求的最小正周期;
(Ⅱ)求在闭区间上的最大值和最小值. (13分)
2. 某大学志愿者协会有6名男同学,4名女同学,在这10名同学中,3名同学来自数学学院,其余7名同学来自物理、化学等其他互不相同的七个学院,现从这10名同学中随机选取3名同学,到希望小学进行支教活动(每位同学被选到的可能性相同).
(1)求选出的3名同学是来自互不相同学院的概率;
(2)设为选出的3名同学中女同学的人数,求随机变量的分布列和数学期望. (13分)
3. 如图,在四棱锥中,底面,点为棱的中点.
(Ⅰ)证明:;
(Ⅱ)求直线与平面所成角的正弦值;
(Ⅲ)若为棱上一点,满足,求二面角的余弦值. (13分)
4. 设椭圆的左、右焦点分别为,右顶点为,上顶点为,已知;
(Ⅰ)求椭圆的离心率;
(Ⅱ)设为椭圆上异于其顶点的一点,以线段为直径的圆经过点,经过原点的直线与该圆相切,求直线的斜率. (13分)
5. 已知和均为给定的大于1的自然数,设集合,集合.
(Ⅰ)当时,用列举法表示集合;
(Ⅱ)设,其中.证明:若,则. (14分)
6. 设,已知函数有两个零点,且.
(Ⅰ)求的取值范围;
(Ⅱ)证明:随着的减小而增大;
(Ⅲ)证明随着的减小而增大. (14分)