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已知函数在点的某个邻域内连续,且,则
过坐标原点作曲线的切线,该切线与曲线及轴围成平面图形(Ⅰ)求的面积;(Ⅱ)求绕直线旋转一周所得旋转体的体积
已知平面区域,为的正向边界. 试证:(Ⅰ);(Ⅱ)
某建筑工程打地基时,需用汽锤将桩打进土层,汽锤每次击打,都将克服土层对桩的阻力而作功. 设土层对桩的阻力的大小与桩被打进地下的深度成正比比例系数为,,汽锤第一次击打将桩打进地下.根据设计方案,要求汽锤每次击打桩时所作的功与前一次击打所作的功之比为常数,问(Ⅰ)汽锤击打桩次后,可将桩打进地下多深?(Ⅱ)若击打次数不限,汽锤至多能将桩打进地下多深?
设函数在内具有二阶导数,且,是的反函数.试将所满足的微分方程
变换为所满足的微分方程;求变换后的微分方程满足初始条件,的解.
设函数连续且恒大于零
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其中,,讨论在区间内的单调性; 证明当时,
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