1. 如图是半圆的直径，图1中，点在半圆外；图2中，点在半圆内，请仅用无刻度的直尺按要求画图．
（1）在图1中，画出的三条高的交点；
（2）在图2中，画出中边上的高． (6分)
2. 先化简，再求值：，在三个数中选一个合适的，代入求值 (6分)
3. 甲、乙、丙人聚会，每人带了一件从外盒包装上看完全相同的礼物（里面的东西只有颜色不同），将3件礼物放在一起，每人从中随机抽取一件．
（1）下列事件是必然事件的是（ ）
乙抽到一件礼物
乙恰好抽到自己带来的礼物
乙没有抽到自己带来的礼物
只有乙抽到自己带来的礼物
（2）甲、乙、丙3人抽到的都不是自己带来的礼物（记为事件），请列出事件的所有可能的结果，并求事件的概率． (6分)
4. 如图，在平面直角坐标系中，反比例函数的图象和矩形在第一象限，平行于轴，且，点的坐标为.
（1）直接写出三点的坐标；
（2）若将矩形向下平移，矩形的两个顶点恰好同时落在反比例函数的图象上，猜想这是哪两个点，并求矩形的平移距离和反比例函数的解析式． (6分)
5. 生活中很多矿泉水没有喝完便被扔掉，造成极大的浪费，为此数学兴趣小组的同学对某单位的某次会议所用矿泉水的浪费情况进行调查，为期半天的会议中，每人发一瓶500ml的矿泉水，会后对所发矿泉水喝的情况进行统计，大致可分为四种：、全部喝完；、喝剩约；、喝剩约一半；开瓶但基本未喝．同学们根据统计结果绘制成如下两个统计图，根据统计图提供的信息，解答下列问题：
（1）参加这次会议的有多少人？在图（2）中所在扇形的圆心角是多少度？并补全条形统计图；
（2）若开瓶但基本未喝算全部浪费，试计算这次会议平均每人浪费的矿泉水约多少毫升？（计算结果请保留整数）
（3）据不完全统计，该单位每年约有此类会议60次，每次会议人数约在40至60人之间，请用（2）中计算的结果，估计该单位一年中因此类会议浪费的矿泉水（瓶）约有多少瓶？（可使用科学记算器） (8分)
6. 如图，在平面直角坐标系中，以点为圆心，半径为的圆与轴交于点A，点是外一点，连接，直线与相切于点，交轴于点．
（1）证明是的切线；
（2）求点的坐标． (8分)
7. 一辆汽车的背面，有一种特殊性状的刮雨器，忽略刮雨器的宽度可抽象为一条折线，如图1所示，量得连杆长为，雨刮杆长为，．若启动一次刮雨器，雨刮杆正好扫到水平线的位置，如图2所示．
（1）求雨刮杆旋转的最大角度及两点之间的距离；（结果精确到）
（2）求雨刮杆扫过的最大面积．（结果保留的整数倍） (8分)
8. 某数学活动小组在作三角形的拓展图形，研究其性质时，经历了如下过程：
（1）操作发现：在等腰中，，分别以AB和AC为斜边，向△ABC的外侧作等腰直角三角形，如图1所示，其中于点，于点是的中点，连接和，则下列结论正确的是 （填序号即可）
①；②；③整个图形是轴对称图形；④．
（2）数学思考：在任意中，分别以和为斜边，向的外侧作等腰直角三角形，如图2所示，是的中点，连接和，则和具有怎样的数量关系？请给出证明过程；
（3）类比探究：
（i）在任意中，仍分别以和为斜边，向的内侧作等腰直角三角形，如图3所示，是的中点，连接和，试判断的形状．答：
（ii）在三边互不相等的中（见备用图），仍分别以和为斜边，向的内侧作（非等腰）直角三角形和（非等腰）直角三角形是的中点，连接和，要使（2）中的结论此时仍然成立，你认为需增加一个什么样的条件？（限用题中字母表示）并说明理由．
(12分)
9. 已知抛物线（为正整数，且）与轴的交点为和，当时，第1条抛物线与轴的交点为和，其他依此类推
（1）求的值及抛物线的解析式；
（2）抛物线的顶点坐标为（ ， ）；依次类推第条抛物线的顶点坐标为（ ， ）；所有抛物线的顶点坐标满足的函数关系式是 ;
（3）探究下列结论：
①若用表示第n条抛物线被轴截得的线段长，直接写出的值，并求出；
②是否存在经过点的直线和所有抛物线都相交，且被每一条抛物线截得的线段的长度都相等？若存在，直接写出直线的表达式；若不存在，请说明理由． (12分)
