2. 如图,点分别在平行四边形的边和上,,点是射线上一点,连接.
求证:. (8分)
3. 如图,某社区有一矩形广场,在边上的点和边上的点分别有一棵景观树,为了进一步美化环境,社区欲在上(点除外)选一点再种一棵景观树,使得,请在图中利用尺规作图画出点的位置(要求:不写已知、求证、作法和结论,保留作图痕迹). (8分)
4. 如图,某河的两岸互相平行,河岸上的点处和点B处各有一棵大树,米,某人在河岸上选一点,在直线上从点前进一段路程到达点,测得,求这条河的宽度.(,结果保留三个有效数字).
(10分)
5. 现有两个不透明的乒乓球盒,甲盒中装有1个白球和2个红球,乙盒中装有2个白球和若干个红球,这些小球除颜色不同外,其余均相同.若从乙盒中随机摸出一个球,摸到红球的概率为.
(1)求乙盒中红球的个数;
(2)若先从甲盒中随机摸出一个球,再从乙盒中随机摸出一个球,请用树形图或列表法求两次摸到不同颜色的球的概率. (10分)
6. 为增强环保意识,某社区计划开展一次“减碳环保,减少用车时间”的宣传活动,对部分家庭五月份的平均每天用车时间进行了一次抽样调查,并根据收集的数据绘制了下面两幅不完整的统计图.请根据图中提供的信息,解答下列问题:
(1)本次抽样调查了多少个家庭?
(2)将图①中的条形图补充完整,直接写出用车时间的中位数落在哪个时间段内;
(3)求用车时间在1~1.5小时的部分对应的扇形圆心角的度数;
(4)若该社区有车家庭有1600个,请你估计该社区用车时间不超过1.5小时的约有多少个家庭?
(10分)
7. 如图,是的弦,,过圆心的直线垂直于点,交于点和点,连接,延长到点,使.
(1)求的半径;
(2)求证:是的切线. (10分)
8. 某实验学校为开展研究性学习,准备购买一定数量的两人学习桌和三人学习桌,如果购买3张两人学习桌,1张三人学习桌需220元;如果购买2张两人学习桌,3张三人学习桌需310元.
(1)求两人学习桌和三人学习桌的单价;
(2)学校欲投入资金不超过6000元,购买两种学习桌共98张,以至少满足248名学生的需求,设购买两人学习桌张,购买两人学习桌和三人学习桌的总费用为元,求出与的函数关系式;求出所有的购买方案. (12分)
9. 如图,正方形的边在坐标轴上,点坐标(3,3),将正方形绕点顺时针旋转角度(),得到正方形交线段于点的延长线交线段于点,连.
(1)求证:;
(2)求的度数;并判断线段之间的数量关系,说明理由;
(3)当时,求直线的解析式.
(12分)
10. 如图,直线交轴于点(4,0),交轴于点(0,4),直线轴正半轴于点,交线段于点,连接.
(1)直接写出直线的解析式;
(2)求点的坐标;
(3)若点是线段上的动点,过点作轴的垂线,交于点,交过三点的抛物线于点,连接.是否存在点,使与相似?若存在,请求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.
(14分)