如图，已知，以为直径，为圆心的半圆交于点，点为的中点，连接交于点为的角平分线，且，垂足为点.
求证：
若，求的长.
张不透明的卡片，除正面画有不同的图形外，其它均相同，把这张卡片洗匀后，正面向下放在桌上，另外还有与卡片上图形形状完全相同的地板砖若干块，所有地板砖的长都相等.
从这张卡片中随机抽取一张，与卡片上图形形状相对应的这种地板砖能进行平面镶嵌的概率是多少？
从这张卡片中随机抽取张，利用列表或画树状图计算：与卡片上图形形状相对应的这两种地板砖能进行平面镶嵌的概率是多少?
在一个不透明的口袋里装有四个分别标有的小球，它们的形状、大小等完全相同.小明先从口袋里随机不放回地取出一个小球，记下数字为；小红在剩下有三个小球中随机取出一个小球，记下数字.
计算由确定的点在函数图象上的概率；
小明、小红约定做一个游戏，其规则是：若满足，则小明胜；若，则小红胜.这个游戏规则公平吗？说明理由；若不公平，怎样修改游戏规则才对双方公平？
为离家某班学生每天使用零花钱的使用情况，张华随机调查了名同学，结果如下表：
每天使用零花钱单位：元
人数