考虑到数学有无穷多的主题内容, 数学, 甚至是现代数学也是处于婴儿时期的一门科学, 如果文明继续发展, 那么在今后两千年, 人类思维中压倒一切的新特点就是数学悟性要占统治地位.

                                                                                                                                  ——A.N. 怀特海

 

    大学数学(包括高等数学、线性代数、概率论与数理统计) 是高等院校理工类、经管类、农林类与医药类等各专业的公共基础课程. 如今, 即使以往一般不学数学的纯文科类专业也普遍开设了大学数学课程. 为什么现在对它的学习受到如此大的重视呢? 具体来说, 大致有以下两方面的原因:

 

    首先是因为当代数学及其应用的发展. 进入20世纪以后, 数学向更加抽象的方向发展, 各个学科更加系统化和结构化, 数学的各个分支学科之间交叉渗透, 彼此的界限已经逐渐模糊. 时至今日, 数学学科的所有分支都或多或少地联系在一起, 形成了一个复杂的、相互关联的网络. 纯粹数学和应用数学一度存在的分歧在更高的层面上趋于缓和, 并走向协调发展. 总而言之, 数学科学日益走向综合, 现在已经形成了一个包含上百个分支学科、各学科相互交融渗透的庞大的科学体系, 这充分显示了数学科学的统一性.

 

    数学与其它学科之间的交叉、渗透与相互作用, 既使得数学领域在深度和广度上进一步扩大, 又促进众多新兴的交叉学科与边缘学科的蓬勃发展, 如金融数学、生物数学、控制数学、定量社会学、数理语言学、计量史学、军事运筹学,等等。这种交融大大促进了各相关学科的发展，使得数学的应用无处不在. 20世纪下半叶, 数学与计算机技术的结合产生了数学技术. 数学技术的迅速兴起, 使得数学对社会进步所起的作用从幕后走向台前. 计算机的迅速发展和普及, 仅为数学提供了强大的技术手段, 也极大地改变了数学的研究方法和思维模式. 所谓数学技术, 就是数学的思想方法与当代计算机技术相结合而成的一种高级的、可实现的技术. 数学的思想方法是数学技术的灵魂, 拿掉它数学技术就只剩下一个空壳. 数学技术对于人类社会的现代化起着极大的推动作用. 正是在这个意义上, 联合国教科文组织把21世纪的第一年定为“世界数学年”, 并指出“纯粹数学与应用数学是理解世界及其发展的一把主要钥匙”.

 

    其次是因为数学能够很好地培养人的理性思维. 数学除了是科学的基础和工具外, 还是一种十分重要的思维方式与文化精神. 美国国家研究委员会在一份题为“人人关心数学教育的未来” 的研究报告中指出: “除了定理和理论外, 数学提供了有特色的思考方式, 包括建立模型、抽象化、最优化、逻辑分析、由数据进行推断以及符号运算等. 它们是普遍适用的、强有力的思考方式. 应用这些数学思考方式经验构成了数学能力——在当今这个技术时代里日益重要的一种智力. 它使人们能批判地阅读, 能识别谬误, 能探索偏见, 能估计风险, 能提出变通办法. 数学能使我们更好地了解我们生活在其中的充满信息的世界.” 数学在形成人类的理性思维方面起着核心的作用, 而我国的传统文化教育在这方面恰恰是不足的. 一位西方数学史家曾说过: “我们讲授数学不只是要教涉及量的推理, 不只是把它作为科学的语言来讲授——虽然这些都很重要——而且要让人们知道, 如果不从数学在西方思想史上所起的重要作用方面来了解它, 就不可能完全理解人文科学、自然科学、人的所有创造和人类世界.”

 

    《数学是什么》是20世纪著名数学家柯朗(R. Courant) 的名著. 每一个受过教育的人都不会认为自己不知道数学是什么, 但是每个读过这本书的人都受益匪浅. 人们了解数学是通过阅读有关算术、代数、几何与微积分等方面的教材和著作, 知道数学的一些内容. 但这只是数学极小的一部分. 柯朗认为, 数学教育应该使人了解数学在人类认识自己和认识自然中所起的作用, 而不只是一些数学理论和公式.

 

    凡是学过数学的人, 都能领略到它的特点——理论抽象、逻辑严密, 从而显示出一种其它学科无法比拟的精确和可靠. 但是人们更需要了解的是数学对整个人类文明的重要影响. 回顾人类的文明史,2500年来, 人们一直在利用数学追求真理, 而且成就辉煌. 数学使人类充满自信, 因为由此能够俯视世界、探索宇宙. 人类改变世界和自身所依赖的是科学, 而科学之所以能实现人的意志是因为科学的数学化. 马克思曾说过: “一门科学, 只有当它成功地运用数学时才能达到真正完善的地步.” 一百多年前, 成功地由数学完善其理论的不过是力学、天文学和某些物理学的分支, 化学很少用到数学, 生物学与数学毫无关系. 而现在就完全不同了, 几乎所有的科学, 不仅是自然科学, 而且包括社会科学和人文科学的各个领域, 都正在大量应用数学理论. 这正是20世纪人类社会和自然面貌迅速改变的原因. 我们还可以回顾一下, 在人类进入近代文明之前, 对于现实世界的认识和描述大多是定性的, 诸如“日月星辰绕地球旋转”、“重的物体比轻的物体下落得快” 等等. 而现在的科学则要求定量地知道, 一个物体以什么样的速度沿什么样的轨道运行, 怎样可以准确无误地把人送到月球上指定的地点, 等等. 一个科学理论, 必须经得起反复的观察验证, 而且可以精确地预言即将出现的事物和现象, 只有这样才能按照人的意志改造客观世界. 不论是验证还是预言, 都需要有定量的标准, 这就要求科学数学化. 现在, 数学化了的科学已经渗透到社会的所有领域的各个层面, 人类可以在大范围内预报中长期的气象, 可以预测一个地区、一个国家甚至全世界的经济前景. 这是因为现在对于这些看似纷乱的现象已经可以建立数学模型, 然后经过演算和推理就能得出人们想知道的结论. 金融、保险、教育、人口、资源、遗传, 甚至语言、历史、文学都不同程度地采用数学方法, 许多领域的科学论文都以它所使用的数学工具作为重要的评估标准之一. 电视、通信、摄影技术正在数字化, 其目的在于通过计算机技术更准确细微地反映图像、声音. 甚至计算歌星与球队的排名都有许多方法. 因此有人说: “一个国家的科学水平可以用它消耗的数学来度量.”

 

    20世纪初期, 科学的深刻变化促使人们从哲学高度进行反思, 从整个文明发展进程的角度来加以总结, 并认识到: 数学是一种语言, 它精确地描述着自然界和人类自身; 数学是一种工具, 它普遍地适用于所有科学领域; 数学是一种精神, 它理性地促使人类的思维日臻完善; 数学是一种文化, 它决定性地影响着人类的物质文明和精神文明的各个方面.

 

    当人类试图按照自己的意志来支配和改造自然界时, 就需要用数学的方法来构想、描述和落实, 因此, 在人类文明之初就诞生了数学. 古代的巴比伦、埃及、中国、希腊和印度在数学上都有重要的创新, 不过从现代意义上说, 数学形成于古希腊. 著名的欧几里得几何学是第一个成熟的数学分支. 相比于欧几里得几何学, 其它文明中的数学并未形成一个独立的体系, 也没有形成一套方法, 而是表现为一系列相互无关的、用于解决日常问题的规则, 诸如历法推算和用于农业与商业的数学法则等. 这些法则如同人类的其它知识一样是源于经验归纳而成的, 因此往往只是近似正确的. 例如, 有许多像“径一周三”这样以三表示圆周率的命题, 欧几里得几何学则完全不同, 它是一个逻辑严密的庞大体系, 仅从10条公理出发, 就推导出487命题, 采用的是与归纳思维法相反的演绎推理法. 归纳法是由特殊现象归纳出一般规律的思维方法, 而演绎法则正好相反, 它从已有的一般结论推导出特殊命题. 例如, 假定有“一个运用数学的学科是成熟的学科”这样一个公认正确的一般结论, 即所谓的大前提: “物理学运用了数学”这是一个特殊的命题, 即所谓的小前提; 由以上两点可以得出结论: “物理学是成熟的学科”. 这就是常说的“三段论”逻辑. 演绎法就运用了这样的逻辑, 其主要特征是在前提正确的情况下, 结论一定正确. 意识到逻辑推理的作用是古希腊文明对人类的一项巨大贡献.

 

    在希腊被罗马帝国统治之后, 希腊的数学研究中断了将近2000年. 在与罗马的历史平行的1100年间, 希腊没有出现过一位数学家. 他们夸耀自己讲究实际, 兴建过许多庞大的工程. 但是过于务实的文化不能产生深刻的数学. 在那之后统治欧洲的基督教提倡为心灵做好准备, 以便死后去天国, 对于现实的物理世界缺乏兴趣.这一时期, 数学在中国、印度和阿拉伯地区继续发展, 也有许多重要的创新. 但是这些古代文明不像希腊文明那样追求绝对可靠的真理, 此没有形成大规模的理论结构体系. 例如, 著名的祖冲之提出的圆周密率领先欧洲1000多年, 但是他没有给出推导密率的理论依据.

 

    被罗马帝国和基督教逐出的希腊文明, 在1000多年后重返欧洲. 当时, 教会仍然主宰一切, 真理只存在于圣经之中. 饱受压抑而善于思索的学者们看清了希腊文明远比教会高明, 于是他们立即接受了这份遗产, 特别是“世界是按数学设计”的信念. 白尼经过多年的观察和计算, 创立了日心说, 认定太阳才是宇宙的中心, 而不是地球. 日心说不仅改变了那个时代人类对宇宙的认识, 而且动摇了宗教的基本教义: 上帝把最珍爱的创造物——人类安置在宇宙的中心——地球. 日心说是近代科学的开端, 而科学正是现代社会的标志. 科学使处于低水平的西欧文明迅速崛起, 短短两三百年后领先于全世界.

 

    在这之后, 科学发展具有决定性意义的一步是由伽利略(G. Galileo) 迈出、由牛顿完成的, 这就是科学的数学化. 伽利略认为, 基本原理必须源于经验和实验, 而不是智慧的大脑. 这是革命性的关键的一步, 它开辟了近代实验科学的新纪元. 人脑可以提供假设, 但假设和猜想必须通过检验. 哥白尼的日心说如此, 牛顿的万有引力如此, 因斯坦的相对论也是如此. 为了使科学理论得以反复验证, 伽利略认为科学必须数学化, 他要求人们不要用定性的模糊的命题来解释现象, 而要追求定量的数学描述, 因为数量是可以反复验证和精确测定的. 追求数学描述而不顾物理原因是现代科学的特征.

 

    17世纪60年代, 牛顿用这种新的方法论取得了辉煌的成功, 以至于几乎所有科学家都立即接受了这种方法, 并取得了丰硕的成果. 这种方法称为西欧工业革命的科学基础. 牛顿决心找出宇宙的一般法则, 他提出著名的力学三定律和万有引力假设. 然后用他发明的微积分方法, 经过复杂的计算和演绎, 既导出了地球上物体的运动规律, 也导出了太空中物体的运动规律, 统一了宇宙中的各种运动, 而这些都是由数学推导完成的, 从而引起了巨大的轰动.17世纪的伟大学者们发现了一个量化了的世界, 这就是繁荣至今的科学数学化的开始.

 

    牛顿的广泛的研究方向, 以及他和莱布尼茨(G. W. Leibniz) 共同创造的微积分, 成为从那以后的100多年间科学家研究的课题. 由于追求量化的结论, 当时的科学家都是数学家, 而伟大的数学家也毫无例外地都是科学家. 科学家寻求一个量化的世界的努力一直延续至今, 他们的主要目标不再是解释自然, 而是为了作出预测, 以便实现各种理想和愿望. 在这个过程中, 以几何为基础的数学, 重心转移到了代数、微积分及其各种数量关系的后续分支上.

 

    代数成为一门学科可以认为开始于韦达(F. Viete) 的研究. 在此之前, 代数是用文字表示的一些应用问题, 只不过是一些实用的方法和计算的“艺术”, 没有自己的理论. 韦达的功绩是用一整套符号表示代数中的已知量、未知量和运算. 这使得代数问题可以抽象归结为符号算式, 这样就脱离了它的具体背景, 然后根据一整套规定的法则作恒等变形, 直至求出答案. 后来, 笛卡尔(R. Descartes) 用坐标方法把点表示为坐标. 把曲线表示为方程, 实现了几何对象的代数化. 传统的几何问题都可以量化为代数方程来求解.

 

    代数方法是机械的, 思路明确简单, 不像几何问题那样需要机智巧妙的处理. 那个时期, 笛卡尔实际上已经洞察到了代数将使数学机械化, 使得数学创造变成一项几乎自动化的工作. 等到牛顿, 尤其是莱布尼茨把微积分也像代数一样形式化, 并解决了大量科学问题之后, 符号化的定量数学终于取代了几何学,成了数学的基础.20世纪中叶计算机出现以后, 数学机械化的思想得以广泛应用于解决各个领域的实际问题, 而借助计算机工具, 数学也越来越深入到社会生活的各个领域.

 

    古往今来对数学做了开创性工作的大数学家, 其创造动机都不是追求物质, 而是追求一种理想, 或是为了揭开自然的奥秘, 或是出于某种哲学信念. 数学是一种理想, 为理想而奋斗才有力量. 数学是人类智慧的杰出结晶, 是人脑最富创造性的产物. 与文学、艺术、音乐等创造有共同之处的是, 指引数学创造的是数学家的一种审美直觉. 数学是介于自然科学与人文科学之间的一种特殊学科, 是影响人类文化全局的一种文化现象. 每一个时代的总的特征与这个时代的数学活动密切相关. 著名的数学史家克莱因(M.Klein) 曾以抒情的笔调写道: “音乐能激起或平静人的心灵绘画能愉悦人的视觉, 诗歌能激发人的感情, 哲学能使思想得到满足, 程技术能改善人的物质生活, 而数学则能做到所有这一切. ”